Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là 20 cm.

a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.

b) Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn.

c) Bạn Nam đọc và thấy rằng khi treo đèn thì khoảng cách từ đáy của đèn cách mặt trền là 1 m là tốt nhất. Vậy bạn Nam cần đưa đoạn dây điện từ đầu đèn (vị trí \(A)\) tới mặt trần là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải

Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\)

Suy ra \(2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\)

\({x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó, để \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\), tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Thay \(x = 3,\,\,y = 1\) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]

a) \[A = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {2 + {x^2}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {4 - {x^4}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2{x^2} - 4x + 2 + 4 - {x^4}\]

\[ = - 2{x^2} - 4x + 10\]\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)\]

\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x + 1 - 6} \right)\]\[ = - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12.\]

Với mọi \(x\), ta luôn có \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\] nên \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\], suy ra \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12 \le 12\]

Do đó \(A \le 12.\) Dấu xảy ra khi \[x = - 1\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(12\) khi \(x = - 1\).