Cho \(\sin \alpha  = \frac{1}{3}\) với \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \). Biết \(\tan \alpha  = \frac{{a - b\sqrt 2 }}{4},\left( {a;b \in \mathbb{N}} \right)\) . Tính \(a + b\).

Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MA}  = \left( { - 2 - x;2 - y} \right);\overrightarrow {AB}  = \left( {5;0} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB}  = \left( {10;0} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - x =  - 10\\2 - y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(M\left( {8;2} \right)\). Chọn A.

Thay tọa độ điểm \(M\left( {2; - 4} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.2 - 2.\left( { - 4} \right) = 18 \ge 2\) (đúng).

Vậy điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Thay tọa độ điểm \(N\left( { - 1;3} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.\left( { - 1} \right) - 2.3 =  - 11 \ge 2\)(vô lý).

Vậy điểm N không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Thay tọa độ điểm \(P\left( {1;3} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.1 - 2.3 =  - 1 \ge 2\) (vô lý).

Vậy điểm P không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Thay tọa độ điểm \(Q\left( { - 2; - 3} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 3} \right) =  - 4 \ge 2\) (vô lý).

Vậy điểm Q không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.