Câu hỏi:

27/09/2025 20 Lưu

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc 23 km và về phía tây 18 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía đông 22 km và về phía nam 27 km, đồng thời cách mặt đất 3 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng bắn một mục tiêu di động trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến mục tiêu là nhỏ nhất, lúc đó mục tiêu cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Với hệ trục tọa độ được chọn, máy bay thứ nhất có tọa độ \(A\left( {23;18;2} \right)\) máy bay thứ hai có tọa độ \(B\left( { - 22; - 27;3} \right)\).

Gọi \(M\) là vị trí mục tiêu. Vì mục tiêu di động trên mặt đất, nghĩa là \(M \in mp\left( {Oxy} \right)\) nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M\left( {a;b;0} \right)\).

Ta cần tìm tọa độ của \(M\) để \(MA + MB\) nhỏ nhất.

Ta thấy \(A,B\) nằm cùng phía đối với \(mp\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(B'\left( { - 22; - 27; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(mp\left( {Oxy} \right) \Rightarrow MB = MB'\).

Có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Khi đó \(MA + MB\) nhỏ nhất bằng \(AB'\) khi \(M\) là giao điểm của \(AB'\) với \(mp\left( {Oxy} \right)\) nghĩa là lúc này ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.

Có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 23;b - 18; - 2} \right),\overrightarrow {AB'}  = \left( { - 45; - 45; - 5} \right)\) mà ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.

Suy ra \(\frac{{a - 23}}{{ - 45}} = \frac{{b - 18}}{{ - 45}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = 5;b = 0 \Rightarrow M\left( {5;0;0} \right)\).

Lúc đó độ dài đoạn OM là khoảng cách từ mục tiêu đến điểm xuất phát của hai máy bay và \(OM = 5\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Đáp án: 5.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\). Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật \(PEHQ\)\(PFGQ\), biết tam giác \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \(T\) là trung điểm của cạnh \(DC\). Các kích thước của nhà lần lượt là \(AB = 6\,{\rm{m}}\), \(AE = 5\,{\rm{m}}\), \(AD = 8\,{\rm{m}}\), \(QT = 7\,{\rm{m}}\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc tọa độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \(AD\) sao cho \(OA = 2\,{\rm{m}}\) và các trục tọa độ tương ứng là các trục \(Ox,Oy,Oz.\)
Toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {2;0;0} \right)\). (ảnh 1)

a) Toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).

b) Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) có toạ độ là \(\left( {6;6;0} \right)\).

c) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt, giá tiền mỗi viên ngói là \(11000\) đồng và để lợp được \(1\) \({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) diện tích mái cần \(22\) viên ngói. Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là \(13\,960\,000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

d) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu nguồn điện đặt tại vị trí \(O\). Bác ấy thiết kế đường dây điện nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng 5+210  (m)

Lời giải

a) Đúng. Tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).

b) Sai. Ta có \[OD = AD - OA = 8 - 2 = 6\]m.

Tọa độ điểm \[C\left( { - 6;\,6;0} \right)\].

Vì vậy \[\overrightarrow {AC}  = \left( { - 8;6;0} \right)\].

c) Sai. Gọi \[M\] là trung điểm của \[HG\] nên \[QM = 7 - 5 = 2\]m, \[MG = \frac{{HG}}{2} = \frac{{AB}}{2} = 3\]m.

Ta có \[QG = \sqrt {Q{M^2} + M{G^2}}  = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \]m.

Diện tích cần lợp là \[S = 2{S_{PQGF}} = 2.8.\sqrt {13}  = 16\sqrt {13} \]m.

Số tiền cần phải trả là \[S.22.11\,000 \approx 13\,961\,000\] đồng.

d) Đúng. Gọi \[J\] là trung điểm của \[BC\] nên \[J\left( { - 2;6;0} \right)\].

Suy ra \[I\] là trung điểm của \[FG\] nên \[I\left( { - 2;6;5} \right)\].

Ta có \[KI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2} + {0^2}}  = 2\sqrt {10} \]m.

Vì vậy \[{d_{\min }} = OK + KI = 5 + 2\sqrt {10} \].

Lời giải

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {\left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right)} \)

\( = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2\overrightarrow {{F_1}} {{\vec F}_2} + 2\overrightarrow {{F_2}} {{\vec F}_3} + 2{{\vec F}_3}{{\vec F}_1}} \)

\( = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2{F_1}{F_2}{\rm{cos}}110^\circ  + 2{F_2}{F_3}{\rm{cos}}90^\circ  + 2{F_1}{F_3}{\rm{cos}}90^\circ } \)

\( = \sqrt {{9^2} + {4^2} + {7^2} + 2.9.4.{\rm{cos}}110^\circ  + 2.4.7.0 + 2.9.7.0}  \approx 11\,\,\left( {\rm{N}} \right)\).

Đáp án: 11.

Câu 5

A. \(\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\).                          
B. \(\left( {1\,;\, - 2\,;\, - 2} \right)\).                                    
C. \(\left( {4\,;\,7\,;\,1} \right)\).    
D. \(\left( {5\,;\,5\,;\, - 1} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \(\left( { - 2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)\).                
B. \(\left( { - 3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\).   
C. \(\left( {2\,;\, - 3\,;\, - 1} \right)\).                          
D. \(\left( { - 1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP