Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\), \(m \in \left( { - 3\,;\,2024} \right]\) để phương trình \(2f\left( x \right) - m = 0\) có một nghiệm?

Ta có : \(h = x\,\,\left( {cm} \right)\) là đường cao hình hộp

Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là \(12 - 2x\,\,\left( {cm} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\12 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {0;6} \right)\)

Thể tích của hình hộp là: \[V = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\]

Xét hàm số\[y = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\,,\,x \in \left( {0;6} \right)\]

Ta có \(y' = {\left( {12 - 2x} \right)^2} - 4x\left( {12 - 2x} \right) = \left( {12 - 2x} \right)\left( {12 - 6x} \right)\) ;

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {12 - 2x} \right).\left( {12 - 6x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)(nhận) hoặc \(x = 6\)(loại).

 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là \(y\left( 2 \right) = 128\).

Vậy \(x = 2\)(cm) thì thể tích hộp là lớn nhất

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\).

Vậy số điểm cực trị của hàm số là \(0\).