Cho hình lập phương \[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\]có cạnh \(a\). Gọi \[M\] là trung điểm \[AD\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

1. \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \overrightarrow {CD} \)                                                                 

2. \(\overrightarrow {D{C_1}} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {D{D_1}} \)                                                                

3. \[\overrightarrow {A{B_1}} .\overrightarrow {C{D_1}} = 0\]                                                              

4. \[\overrightarrow {{C_1}M} = \overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {{C_1}{B_1}} \]

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM} \) nên đáp án A đúng.

\(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {MN} \) đúng vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {MN} \)

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\) đúng vì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Đáp án D: \(2\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \) sai vì :

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} .\end{array}\]

1. Mệnh đề sai vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

2. Mệnh đề đúng: Vì

\(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {GD}  = 3\overrightarrow {IG}  + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {IG} \).

3. Mệnh đề đúng: Vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AI}  = \overrightarrow 0 \).     

4. .Mệnh đề đúng vì:

\(\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {IG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} \).

\[\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB}  =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {AB}  =  - \frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AB}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \].