Cho hình lập phương \[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\]có cạnh \(a\). Gọi \[M\] là trung điểm \[AD\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

1. \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \overrightarrow {CD} \)                                                                 

2. \(\overrightarrow {D{C_1}} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {D{D_1}} \)                                                                

3. \[\overrightarrow {A{B_1}} .\overrightarrow {C{D_1}} = 0\]                                                              

4. \[\overrightarrow {{C_1}M} = \overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {{C_1}{B_1}} \]

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM} \) nên đáp án A đúng.

\(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {MN} \) đúng vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {MN} \)

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\) đúng vì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Đáp án D: \(2\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \) sai vì :

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} .\end{array}\]

1. Mệnh đề đúng  vì \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a\).

2. Mệnh đề đúng vì \[\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\sin \widehat {ASB} = a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]

3. Mệnh đề sai:

Do \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SN} \) và \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {MB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\left( {\overrightarrow {SN}  + \overrightarrow {AN} } \right)\)(1)

Do \(M\) là trung điểm của \(SA\) nên \(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NS}  = 2\overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {SN}  = 2\overrightarrow {MN} \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2.2.\overrightarrow {MN}  = 4\overrightarrow {MN} \).

4. Mệnh đề sai

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều  và \(I\) là trọng tâm tứ diện nên \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = IG\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(N\)là trung điểm của \(BC\), suy ra \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SG \bot AG\).

Tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) nên \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do \(I\) là trọng tâm tứ diện\(SABC\) nên \(IG = \frac{1}{4}SG = \frac{1}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

Vậy \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).