PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 3.

Cho tứ diện \(ABCD\) Gọi \(E\) là trung điểm \(AD\), \(F\) là trung điểm\(BC\). Ta có \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = .......\overrightarrow {EF} \]

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM} \) nên đáp án A đúng.

\(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {MN} \) đúng vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {MN} \)

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\) đúng vì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Đáp án D: \(2\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \) sai vì :

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} .\end{array}\]

1. Mệnh đề đúng  vì \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a\).

2. Mệnh đề đúng vì \[\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\sin \widehat {ASB} = a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]

3. Mệnh đề sai:

Do \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SN} \) và \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {MB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\left( {\overrightarrow {SN}  + \overrightarrow {AN} } \right)\)(1)

Do \(M\) là trung điểm của \(SA\) nên \(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NS}  = 2\overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {SN}  = 2\overrightarrow {MN} \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2.2.\overrightarrow {MN}  = 4\overrightarrow {MN} \).

4. Mệnh đề sai

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều  và \(I\) là trọng tâm tứ diện nên \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = IG\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(N\)là trung điểm của \(BC\), suy ra \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SG \bot AG\).

Tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) nên \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do \(I\) là trọng tâm tứ diện\(SABC\) nên \(IG = \frac{1}{4}SG = \frac{1}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

Vậy \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).