Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1\;;\; - 2\;;\;7} \right);\;B\left( {5\;;6\;;\;3} \right);\;C\left( { - 4\;;\;7\;;\;10} \right);\;G\left( {2\;;\;5\;;\;6} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm \(M\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(B\) ?
b) Tìm tọa độ điểm \(N\) đối xứng với điểm \(B\) qua \(C\)?
c) Tìm tọa độ điểm \(B'\) đối xứng với điểm \(B\) qua trục \(Oy\)?
d) Tìm tọa độ điểm \(C'\) đối xứng với điểm \(C\) qua mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\) ?
e) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\)?
f) Tìm tọa độ điểm \(K\) sao cho \(A\) là trọng tâm của tam giác \(KBG\)?

a) Do điểm \(M\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của đoạn \(AM\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_B} - {x_A} = 9\\{y_M} = 2{y_B} - {y_A} = 14\\{z_M} = 2{z_B} - {z_A} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {9\;;\;14\;;\; - 1} \right)\).

b) Do điểm \(N\) đối xứng với điểm \(B\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của đoạn \(BN\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_C} - {x_B} =  - 13\\{y_N} = 2{y_C} - {y_B} = 8\\{z_N} = 2{z_C} - {z_B} = 17\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 13\;;\;8\;;\;17} \right)\).

c) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(B\) trên trục \(Oy\). Ta được: \(H\left( {0\;;6\;;\;0} \right)\).

Do điểm \(B'\) đối xứng với điểm \(B\) qua trục \(Oy\) nên \(H\) là trung điểm của đoạn \(BB'\).

Vậy \(B'\left( { - 5\;;\;6\;;\; - 3} \right)\).

d) Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\). Ta được: \(J\left( { - 4\;;0\;;\;10} \right)\).

Do điểm \(C'\) đối xứng với điểm \(C\) qua mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\) nên \(J\) là trung điểm của đoạn \(CC'\).

Vậy \(C'\left( { - 4\;;\; - 7\;;\;10} \right)\).

e) Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3{x_G} - {x_B} - {x_C} = 5\\{y_D} = 3{y_G} - {y_B} - {y_C} = 2\\{z_D} = 3{z_G} - {z_B} - {z_C} = 5\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {5\;;\;2\;;\;5\;} \right)\)
f) Do \(A\) là trọng tâm của tam giác \(KBG\). Tương tự \(K\left( { - 4\;;\; - 17\;;\;12} \right)\)