Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho vectơ \[\overrightarrow a = \left( {0;1;0} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( {3; - 2;4} \right)\]. Giả sử vectơ \(\overrightarrow c \left( {m;n;p} \right)\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) và \(\left| {\overrightarrow c } \right| = 10\). Tính \[2m + 3n - 4p\].

Ta đặt \[A(a;0;0)\],\[B(0;b;0)\],\[C(0;0;c)\].

\[\overrightarrow {SA}  = (a - 1; - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SB}  = ( - 1;b - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SC}  = ( - 1; - 2;c - 3)\].

Vì \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  \bot \overrightarrow {SB} \\\overrightarrow {SB}  \bot \overrightarrow {SC} \\\overrightarrow {SA}  \bot \overrightarrow {SC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 14\\2b + 3c = 14\\a + 3c = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

Do \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc, nên: \({V_{SABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.7.\frac{7}{2}.\frac{7}{3} = \frac{{343}}{{36}}\).

a)  Sai.

b)  Đúng.

c)  Sai.

d)  Đúng.

Ta có:  Điểm đối xứng của \(B\left( { - 4;\,8;\,6} \right)\) qua mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] là \(B'\left( { - 4;\,8;\, - 6} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB'} \left( { - 5;\,5;\, - 10} \right)\).

Khi đó với mọi điểm \(M\)thuộc mặt phẳng  \[\left( {Oxy} \right)\] thì:\(MB = MB' \Rightarrow MA + MB = MA + MB' \ge AB'\)                 

Dấu bằng xảy ra khi ba điểm \(A,\,M,B'\) thẳng hàng và điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A,B'\).

               \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = k.\overrightarrow {AB'} \,\,\,\left( {0 \le k \le 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = k.\left( { - 5} \right)\\b - 3 = k.\left( 5 \right)\\0 - 4 = k.\left( { - 10} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 5\\k = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

Vậy có: \(2024a + 2025b = 2024.\left( { - 1} \right) + 2025.\left( 5 \right) = 8101\).