Câu hỏi:

02/10/2025 86 Lưu

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 2;0;2} \right)\), \(B\left( {3; - 2;4} \right)\), \(C\left( {1;5; - 5} \right)\), \(A'\left( {3;5;7} \right)\), \(B'\left( {8;3;9} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?  

a) Trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) có tọa độ là \(M\left( {2;\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

b) Trọng tâm tam giác \(A'BC\) có tọa độ là \[G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)\].

c) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{58}}{{\sqrt {33}  \cdot \sqrt {58} }}\).

d) Khi\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác thì tọa độ trọng tâm \(G'\) của tam giác \[A'B'C'\] là \[G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{17}}{3}} \right)\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Sai vì trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) có tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 2\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_B} + {z_C}}}{2} =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)

b) Đúng vì trọng tâm tam giác \(A'BC\) có tọa độ là

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_{A'}} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{7}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_{A'}} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{8}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_{A'}} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)\]

c) Sai vì

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{5 \cdot 10 + \left( { - 2} \right) \cdot 3 + 2 \cdot 7}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{{10}^2} + {3^2} + {7^2}} }} = \frac{{58}}{{\sqrt {33}  \cdot \sqrt {158} }}\)

d) Sai.

Tam giác \(ABC\) có trọng tâm \[G\left( {\frac{2}{3};1;\frac{1}{3}} \right)\], tam giác \[A'B'C'\] có trọng tâm \[G'\].

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ nên \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {GG'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_G} = {x_{A'}} - {x_A}\\{y_{G'}} - {y_G} = {y_{A'}} - {y_A}\\{z_{G'}} - {z_G} = {z_{A'}} - {z_A}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{17}}{3}\\{y_{G'}} = 6\\{z_{G'}} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{16}}{3}} \right)\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {A'B'} = ( - 120;0;300)\)

\(O'(0;420;0) \Rightarrow \overrightarrow {A'O'} = ( - 240;0;0)\)

Do đó \[\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {O'A'} }}{{\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|.\left| {\overrightarrow {O'A'} } \right|}} = \frac{{120.240}}{{60\sqrt {29} .240}} = \frac{2}{{\sqrt {29} }} \Rightarrow \alpha = 68,{2^0}\]

Lời giải

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Với \(m = 1;n = 2\) thì \(\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 8;3} \right)\) nên a) sai.

b) Với \(m = 1;n = 0\) thì \(\overrightarrow b  = \left( {1;4; - 1} \right)\) nên \(2\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {1; - 12;7} \right)\) nên b) đúng.

c) Để \(\vec b = \vec 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 0\\4m - 6n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\2 = 0\end{array} \right.\) vô lý. Vậy c) sai.

d) Để \(\vec a = \vec b\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 1\\4m - 6n =  - 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\16 - 15 + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m + n = 9\).

Câu 4

A. \(\vec d\left( { - 7;0; - 4} \right)\)                
B. \(\vec d\left( { - 7;0;4} \right)\) 
C. \(\vec d\left( {7;0; - 4} \right)\)                        
D. \(\vec d\left( {7;0;4} \right)\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP