Trong không gian Oxyz cho các điểm \[A\left( {5;1;5} \right);{\rm{ }}B\left( {4;3;2} \right);{\rm{ }}C\left( { - 3; - 2;1} \right)\]. Trong các khẳng định sau, hãy chọn tính đúng sai.

              a) Tọa độ trọng tâm của tam giác \[ABC\]là \[G\left( {3;\,1;\,\frac{8}{3}} \right)\].

              b) \[AB = \sqrt {14} ;\,\,BC = 5\sqrt 3 \]

              c) Tam giác \[ABC\] là một ram giác vuông

              d) Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Khi đó \[a + 2b + c = 3.\]

Ta có \(\overrightarrow {A'B'} = ( - 120;0;300)\)

\(O'(0;420;0) \Rightarrow \overrightarrow {A'O'} = ( - 240;0;0)\)

Do đó \[\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {O'A'} }}{{\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|.\left| {\overrightarrow {O'A'} } \right|}} = \frac{{120.240}}{{60\sqrt {29} .240}} = \frac{2}{{\sqrt {29} }} \Rightarrow \alpha = 68,{2^0}\]

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Với \(m = 1;n = 2\) thì \(\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 8;3} \right)\) nên a) sai.

b) Với \(m = 1;n = 0\) thì \(\overrightarrow b  = \left( {1;4; - 1} \right)\) nên \(2\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {1; - 12;7} \right)\) nên b) đúng.

c) Để \(\vec b = \vec 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 0\\4m - 6n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\2 = 0\end{array} \right.\) vô lý. Vậy c) sai.

d) Để \(\vec a = \vec b\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 1\\4m - 6n =  - 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\16 - 15 + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m + n = 9\).