Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba vecto \(\vec a\left( {1;2;3} \right);\vec b\left( {2;2; - 1} \right);\vec c\left( {4;0; - 4} \right)\). Tọa độ của vecto \(\vec d = \vec a - \vec b + 2\vec c\) là

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Với \(m = 1;n = 2\) thì \(\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 8;3} \right)\) nên a) sai.

b) Với \(m = 1;n = 0\) thì \(\overrightarrow b  = \left( {1;4; - 1} \right)\) nên \(2\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {1; - 12;7} \right)\) nên b) đúng.

c) Để \(\vec b = \vec 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 0\\4m - 6n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\2 = 0\end{array} \right.\) vô lý. Vậy c) sai.

d) Để \(\vec a = \vec b\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 1\\4m - 6n =  - 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\16 - 15 + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m + n = 9\).

Ta có: \[\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 45^\circ  \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\] \[ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\( \Leftrightarrow \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \sqrt {3\left( {{m^2} + 1} \right)}  = 1 - 2m\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2m \ge 0\\3{m^2} + 3 = 1 - 4m + 4{m^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{2}\\{m^2} - 4m - 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 6  \approx  - 0.4494897\).

Suy ra \(m \approx  - 0.4\)