Câu hỏi:

02/10/2025 755 Lưu

Trong không gian tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) tạo với nhau một góc \(120^\circ \). Biết rằng    \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\,;\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\), tính giá trị của biểu thức \(A = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\) ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có: \({\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 - 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ  + 9 = 37\)

Tương tự \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ  + 9 = 13\)

Do đó \(A = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {37}  + \sqrt {13}  \approx \,9,69\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trả lời: \(2\)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\).

Khi đó, \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\)

và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) =  - \frac{1}{2}.\)

Ta lại có: \[\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \].

Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy \(Q = a.b = 2\).

Lời giải

a) Đ

b) S

c) Đ

Gọi \(D\left( {x;\,\,y} \right)\). Khi đó AB=3;1;  1, \(\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - x;\,\,1 - y;\, - 2 - z\,} \right)\)

Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 1 - x\\ - 1 = 1 - y\\ - 1 =  - 2 - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\\z =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {4;\,\,2;\,\, - 1} \right)\)

d) Đ

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Khi đó tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} \, = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2z =  - 1\\x + 2y + 3z = 3\\x - 8y + 5z =  - 17\end{array} \right.\).

Suy ra \(H\left( {\frac{2}{{15}};\frac{{29}}{{15}}; - \frac{1}{3}} \right)\).

Vậy \[OH = \frac{{\sqrt {870} }}{{15}}\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP