Câu hỏi:

02/10/2025 23 Lưu

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 vectơ \(\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k,\,\,\,\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k\). Biết rằng \(\vec u.\vec v = 8\), khi đó giá trị của \(m\) bằng 5.

b) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véctơ \[\overrightarrow u  = \left( {1;\, - 2;\,1} \right)\] và \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;\,1;\,1} \right)\), góc giữa hai vectơ đã cho bằng \(60^\circ \).

c) Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) và \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Góc giữa \(BC'\) và \(A'C\) là \(90^\circ \).

d) Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \), khi đó \(\cos \varphi \) bằng\(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có \(\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k\)\( \Rightarrow \vec u = \left( {m;\,2;\, - 3} \right)\), \(\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k\)\( \Rightarrow \vec v = \left( {2;\,m;\,4} \right)\).

Theo đề bài \(\vec u.\vec v = 8 \Rightarrow 2m + 2m - 3.4 = 8 \Leftrightarrow m = 5.\)

b) Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = 120^\circ \).

c) Ta có: \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C'\left( {0;2;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 2;2;2} \right)\).

\(A'\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {A'C}  = \left( {0;2; - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC'} .\overrightarrow {A'C}  = 0\).

d) Công thức tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \):\(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trả lời: \(2\)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\).

Khi đó, \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\)

và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) =  - \frac{1}{2}.\)

Ta lại có: \[\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \].

Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy \(Q = a.b = 2\).

Lời giải

Do điểm \(M \in {\rm{Ox}}\) nên ta gọi \(M\left( {x;0;0} \right)\) ta có \(MB = MC \Leftrightarrow M{B^2} = M{C^2}\).

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {1^2} + {0^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {4^2} + {5^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4{\rm{x}} + 5 = {x^2} - 2{\rm{x}} + 42 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 37}}{2}.\)

Vậy \(M\left( { - \frac{{37}}{2};0;0} \right) \Rightarrow \,2x + y + z =  - 37\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP