Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 vectơ \(\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k,\,\,\,\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k\). Biết rằng \(\vec u.\vec v = 8\), khi đó giá trị của \(m\) bằng 5.

b) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véctơ \[\overrightarrow u  = \left( {1;\, - 2;\,1} \right)\] và \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;\,1;\,1} \right)\), góc giữa hai vectơ đã cho bằng \(60^\circ \).

c) Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) và \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Góc giữa \(BC'\) và \(A'C\) là \(90^\circ \).

d) Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \), khi đó \(\cos \varphi \) bằng\(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}\).

A) Sai                B) Sai                               C) Đúng                  D) Đúng

Từ giả thiết, ta có \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b ;\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

A) Giả sử \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow d \). Theo quy tắc hình bình hành thì \(\overrightarrow d  \ne \overrightarrow {AC'} \) .

Suy ra \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \ne \overrightarrow c \).

B) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 10\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh bằng 10).

C) Ta có

\( \bullet \,{(\overrightarrow a  + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow {c\,}  + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

\( \bullet \,{(\overrightarrow b  + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\,\overrightarrow b .\,\overrightarrow {c\,}  + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10.\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

Vậy \[\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right|.\]ĐÚNG.

D) Giả sử lực tổng hợp là \[\overrightarrow m \], tức là \[\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c .\] Do đó

\[\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  + 2\overrightarrow c .\overrightarrow a \]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {10^2} + {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} + 0 + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 900\]

\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow m } \right| = 30\]

Vậy cường độ hợp lực của \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow c \]là \[30(N).\]

Trả lời: \(2\)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\).

Khi đó, \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\)

và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) =  - \frac{1}{2}.\)

Ta lại có: \[\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \].

Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy \(Q = a.b = 2\).