Câu hỏi:

02/10/2025 438 Lưu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác \[{\rm{ABC}}\] có các đỉnh \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {2;1; - 2} \right)\), \(C\left( {0;3;4} \right)\).

a) [Mức độ 1] Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {1;3; - 2} \right)\).

b) [Mức độ 2] Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {1;\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

c) [Mức độ 1] Tọa độ hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {0;0; - 2} \right)\) .

d) [Mức độ 2] \(\overrightarrow x  = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {BC} \). Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow x  = \left( { - 4;12;14} \right)\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đúng.

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3; - 2} \right)\).

b) Đúng.

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).

c) Sai.

Tọa độ hình chiếu của điểm \(B\left( {2;1; - 2} \right)\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {2;1;0} \right)\).

d) Sai.

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3; - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6; - 4} \right)\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;2;6} \right) \Rightarrow  - 3\overrightarrow {BC}  = \left( {6; - 6; - 18} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow x  = \left( {8;0; - 22} \right)\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình  lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (ảnh 1)

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'M} \)

c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ  = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)

Lời giải

(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) . Hãy xác định \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right)\]? (ảnh 1)

      Cạnh hình lập phương là \(a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)

      \[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}\]

      Ta có: \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]