Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác \[{\rm{ABC}}\] có các đỉnh \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {2;1; - 2} \right)\), \(C\left( {0;3;4} \right)\).

a) [Mức độ 1] Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {1;3; - 2} \right)\).

b) [Mức độ 2] Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {1;\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

c) [Mức độ 1] Tọa độ hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {0;0; - 2} \right)\) .

d) [Mức độ 2] \(\overrightarrow x  = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {BC} \). Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow x  = \left( { - 4;12;14} \right)\)

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'M} \)

c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ  = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)