Câu hỏi:

02/10/2025 13

Hình bên dưới mô tả một hồ bơi theo tiêu chuẩn với kích thước như hình vẽ và biết chiều sâu của hồ bơi là 2 m. Biết hồ bơi này có 10 làn bơi với độ rộng như nhau và mỗi làn bơi được ngăn cách bằng phao ngăn phân làn nổi trên mặt nước. Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình bên dưới sao cho gốc tọa độ $O$ nằm ở dưới đáy của hồ và chiều của vectơ \[\overrightarrow k \] hướng dọc thẳng đứng lên từ đáy bể lên miệng bể. Gọi $AB$ là là phao ngăn phân làn như hình vẽ và có độ dài là 40 m. Biết hai điểm $A$ và $B$ cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ. Hãy xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ôn tập cuối chương 2 (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp số: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)$.

Gọi tọa độ điểm $A$ và $B$ lần lượt là $\left( {{x_A};\,{y_A};\,{z_A}} \right)$ và $\left( {{x_B};\,{y_B};\,{z_B}} \right)$. Do hồ bơi này có chiều rộng là 25 m và có 10 làn bơi với độ rộng như nhau nên độ rộng mỗi làn bơi là: $25:10 = 2,5\,\,{\rm{m}}$.

Do phao ngăn phân làn $AB$ nằm giữa làn thứ 5 trong hình tính từ dưới lên trên.

Suy ra: $AB$ cách thành hồ là giá của vectơ $\overrightarrow i $ ứng với trục $Ox$ là $2,5.4 + 2,5:2 = 11,25\,\,{\rm{m}}$.

Do AB song song với giá của vectơ $Ox$ nên: \[{y_A} = {y_B} = 11,25\].

Ta lại có hai điểm $A$ và $B$ đều cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ và $AB = 40\,{\rm{m}}$.

Suy ra: điểm B cách thành hồ là giá của vectơ $\overrightarrow j $ ứng với trục $Oy$ là: $\left( {50 - 40} \right):2 = 5\,\,{\rm{m}}$.

Suy ra: ${x_B} = 5$ và ${x_A} = 45$.

Do phao ngăn phân làn nổi trên mặt hồ và cách đáy hồ 2 m nên: ${z_B} = {z_A} = 2$.

Suy ra: $A\left( {11,25;\,\,45;\,\,2} \right)$ và $B\left( {11,25;\,\,5;\,\,2} \right)$.

Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ là: $\overrightarrow {AB} = \left( {11,25 - 11,25;\,\,5 - 45;\,\,2 - 2} \right) = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)$.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

PHẦN 2. CÂU HỎI DẠNG ĐÚNG – SAI (4 CÂU)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} $

b) Gọi \[M\] là trung điểm $BC$ khi đó $\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} $.

c) $\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AB'} \] và $\overrightarrow {BC'} $ bằng $60^\circ $.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (ảnh 1)$

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'M} $

c) Sai.

Ta có: $\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}$

d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)$$ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} $

$ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} $$ = - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}$

Suy ra $\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}$$ = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ $

Câu 2

Cho 3 điểm $A\left( { - 1\,;\,2;\,1} \right);B\left( {2; - 2;4} \right);C\left( {0; - 4;1} \right)$.

a) Ba điểm $A,\,B,C$ không thẳng hàng.

b) Điểm $D\left( {5; - 6;7} \right)$. Khi đó 3 điểm $A,B,D$ thẳng hàng .

c) \[cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{37}}{{\sqrt {1258} }}\].

d) Cho $\overrightarrow u \left( {x - 1;2y + 1;3z - 5} \right)$ thoả mãn $\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AC} $. Khi đó ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2024$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AC} \left( {1; - 6;0} \right)$. Giả sử tồn tại số $k \ne 0$ sao cho $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = k\\ - 4 = - 6k\\3 = 0k\end{array} \right.$ vô nghiệm suy ra không tồn tại $k$. Suy ra 3 điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

b) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AD} \left( {6; - 8;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} $. Vậy 3 điểm $A,B,D$ thẳng hàng.

c) Sai.

Ta có $cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3 + 24}}{{\sqrt {9 + 9 + 16} .\sqrt {1 + 36} }} = \frac{{27\sqrt {1258} }}{{1258}}$.

d) Sai.

Ta có $\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;3; - 14} \right) = \left( {x - 1;2x + 1;3z - 5} \right)$

Suy ra

\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 18\\2y + 1 = 3\\3z - 5 = - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 19\\y = 1\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = {19^2} + 1 + 9 = 371\]

Câu 3