Cho  3 điểm \(A\left( { - 1\,;\,2;\,1} \right);B\left( {2; - 2;4} \right);C\left( {0; - 4;1} \right)\).

a) Ba điểm \(A,\,B,C\) không thẳng hàng.

b) Điểm \(D\left( {5; - 6;7} \right)\). Khi đó 3 điểm \(A,B,D\) thẳng hàng .

c) \[cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{37}}{{\sqrt {1258} }}\].

d) Cho \(\overrightarrow u \left( {x - 1;2y + 1;3z - 5} \right)\) thoả mãn \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AC} \). Khi đó \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2024\)

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'M} \)

c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ  = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;\,4;\, - 7} \right)\). Gọi \(D\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( {x - 2;\,y - 4;\,z} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - 5\\y - 4 = 4\\z =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 8\\z =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 3;8; - 7} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {DD'}  = \left( {9;\,0;\,17} \right)\). Gọi \(B'\left( {x';\,y';\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BB'}  = \left( {x' - 4;\,y';\,z'} \right)\)

Vì \(BB'D'D\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {DD'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 4 = 9\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 13\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {13;\,0;\,17} \right)\).