Câu hỏi:

02/10/2025 462 Lưu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0\,;\, - 1;\,1} \right)\), \(B\left( { - 2\,;\,1;\, - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;\,3;\,2} \right)\),\(D\left( { - 1;\,0;\,0} \right)\).

a) Ba điểm \(A,\,B,\,C\)  không thẳng hàng.

b) Ba điểm \(A,\,B,\,D\)  thẳng hàng.

c) Cosin của góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) bằng \( - \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}\).

d) Bốn điểm \(A;\,B;\,C;\,D\) không đồng phẳng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đúng.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BC}  = \left( {1;\,2;\,3} \right)\]

Vì \[\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 2}}{3}\] nên \[\overrightarrow {AB}  \ne k\,\overrightarrow {BC} \]. Suy ra ba điểm \(A,\,B,\,C\)  không thẳng hàng.

b) Đúng.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BD}  = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\]

Vì \[\frac{{ - 2}}{1} = \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} =  - 2\] nên \[\overrightarrow {AB}  =  - 2\,\overrightarrow {BD} \].

Suy ra điểm \(A,\,B,\,D\)  thẳng hàng.

c) Sai.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\].

\[\overrightarrow {CB}  = \left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\].

Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} }}{{AB.CB}}\]\[ = \frac{{\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {12} .\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}\].

d) Sai.

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;\,4;\,1} \right)\], \[\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1;\,1; - \,1} \right)\]

\[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10;\,4;\, - 6} \right)\]

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = \,10.\left( { - 1} \right) + 4.1 + \left( { - 6} \right)\left( { - 1} \right) = 0\] nên ba vectơ \[\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {AD} \]  đồng phẳng

Nên bốn điểm \(A;\,B;\,C;\,D\) đồng phẳng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình  lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (ảnh 1)

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'M} \)

c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ  = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)

Lời giải

(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) . Hãy xác định \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right)\]? (ảnh 1)

      Cạnh hình lập phương là \(a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)

      \[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}\]

      Ta có: \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]