Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Với \[O\] là trung điểm của \[AC\], ta có \[\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \].

Với \[O\] là trung điểm của \[BD\], ta có \[\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \].

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) và \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \).

\[\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC} \].

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  + 2\overrightarrow {CB} \).

Ta có: \[\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}}  = \left( {\overrightarrow {{B_1}B}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AM} } \right)\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D{D_1}} } \right)\]

\[\begin{array}{l} = \overrightarrow {{B_1}B} .\overrightarrow {D{D_1}}  + {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} \\ =  - {a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\\ = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\]

Áp dụng định lí: trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Khi đó, ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2};\left( { - 2} \right) - 1;4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {0; - 3;7} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 3;y + 1} \right)\]

\(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng khi \[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) =  - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]

Vậy  \(x + y = 5.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

          Vậy \(3\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 3;3} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {4;1; - 1} \right)\).

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) là: \(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 3;\,5} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {6;\,0;\, - 4} \right)\).

Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 2 \cdot 6 + \left( { - 3} \right) \cdot 0 + 5 \cdot \left( { - 4} \right) =  - 8\).