Câu hỏi:

02/10/2025 117 Lưu

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN (12 CÂU)

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành tâm \[O\]. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \).                                                                
B. \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).                               
C. \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \). 
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Đẳng thức nào sau đây là sai?  (ảnh 1)

Với \[O\] là trung điểm của \[AC\], ta có \[\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \].

Với \[O\] là trung điểm của \[BD\], ta có \[\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \].

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) và \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \).

\[\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC} \].

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  + 2\overrightarrow {CB} \).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình  lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (ảnh 1)

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'M} \)

c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ  = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)

Lời giải

(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) . Hãy xác định \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right)\]? (ảnh 1)

      Cạnh hình lập phương là \(a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)

      \[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}\]

      Ta có: \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]