Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Hai công ty, công ty A và công ty B, cùng ra mắt sản phẩm cạnh tranh thị trường mới vào cùng thời điểm. Thị phần được đo bằng số lượng khách hàng lũy kế.

Công ty A: Bắt đầu với 0 khách hàng. Trong giai đoạn đầu, chiến dịch marketing hiệu quả giúp tốc độ thu hút khách hàng mới của họ tăng dần theo thời gian, được mô tả bởi hàm \(f\left( t \right) = 2t + 7\) (nghìn khách hàng/tháng), với \(t\) là số tháng kể từ khi ra mắt.

Công ty B: Nhờ có uy tín từ trước, họ bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng.

Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng kể từ khi ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu)?

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Gọi \(L\left( x \right)\) là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x.

Theo đề ta có, \(L\left( x \right)\)là một parabol đi qua ba điểm \(\left( {0;13\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {30;10\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {{x_o};\frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right)\) , trong đó \({x_o}\) là vị trí toà nhà có cạnh cạnh \({L_{min}} = 13,75\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Ta có \(L\left( x \right) = a{\left( {x - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}\).

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}L\left( 0 \right) = a{\left( {0 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 13\sqrt 2 \\L\left( {30} \right) = a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 10\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{\left( {{x_o}} \right)^2} = \frac{{49\sqrt 2 }}{8}\\a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{8}\end{array} \right.\)

               \( \Rightarrow \frac{{{x_o}^2}}{{{{\left( {30 - {x_o}} \right)}^2}}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 105\,\left( L \right)\\{x_o} = 17,5\,\,\left( {TM} \right) \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}\end{array} \right.\,\)

Suy ra \(L\left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{\left( {x - 17,5} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}\).

Do đó, diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = 2{\left[ {L\left( x \right)} \right]^2} = 2{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17,5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]^2}\).

Vậy thể tích của toà nhà là \(\)\[V = \int\limits_0^{30} {S\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{30} {2{{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17,5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]}^2}{\rm{d}}x}  \approx 8976\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].

Đáp án: 8976.

a) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} } \).

Vậy hàm số \(V\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = k.\sqrt t \).

b) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} }  = \frac{{2k}}{3}.t\sqrt t  + C\), với \(0 \le t \le 24\) và \(k,\,\,C\) là các hằng số.

c) Sai. Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có \(50000\) lít dầu nên \(V\left( 0 \right) = 50\,000 \Rightarrow C = 50\,000\).

Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt \(58000\) lít nên ta có:

\(V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4  + 50000 = 58000 \Leftrightarrow k = 1500\).

Vậy \(V\left( t \right) = 1\,000.t\sqrt t  + 50\,000\).

Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được:

\(V\left( {16} \right) = 1\,000.16\sqrt 6  + 50\,000 = 114\,000\) lít.

d) Đúng. Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ \(500\) lít/giờ, thì tại thời điểm \(t\) bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là

\(V\left( 9 \right) = 1\,000.9\sqrt 9  + 50\,000 - 500.9 = 72\,500\) lít.