Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh \({L_0} = 26\;{\rm{m,}}\) mặt đỉnh là hình vuông có cạnh \({L_{30}} = 20\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh \({L_{min}} = 13,75\;{\rm{m}}{\rm{.}}\) Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

Gọi \({P_A}\left( t \right)\) là số lượng khách hàng luỹ kế của công ty A với \(t\) là số tháng kể từ khi ra mắt sản phẩm (\(t > 0\)).

Ta có \[{P_A}\left( t \right) = \int {f\left( t \right)dt = \int {\left( {2t + 7} \right)} } dt = {t^2} + 7t + C\].

Công ty A bắt đầu với 0 khách hàng nên \({P_A}\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {0^2} + 7.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).

Vậy \[{P_A}\left( t \right) = {t^2} + 7t\].

Vì công ty B bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng, nên số lượng khách hàng lũy kế của công ty B sau \(t\) tháng ra mắt sản phẩm là \({P_B}\left( t \right) = 10 + 10t\) (\(t > 0\)).

Ta có \({P_A}\left( t \right) = {P_B}\left( t \right) \Leftrightarrow {t^2} + 7t = 10 + 10t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 10\\t = 5\end{array} \right.\).

Vì \(t > 0\) nên \(t = 5\).

Vậy sau 5 tháng ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu).

Đáp án: 5.

a) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} } \).

Vậy hàm số \(V\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = k.\sqrt t \).

b) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} }  = \frac{{2k}}{3}.t\sqrt t  + C\), với \(0 \le t \le 24\) và \(k,\,\,C\) là các hằng số.

c) Sai. Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có \(50000\) lít dầu nên \(V\left( 0 \right) = 50\,000 \Rightarrow C = 50\,000\).

Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt \(58000\) lít nên ta có:

\(V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4  + 50000 = 58000 \Leftrightarrow k = 1500\).

Vậy \(V\left( t \right) = 1\,000.t\sqrt t  + 50\,000\).

Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được:

\(V\left( {16} \right) = 1\,000.16\sqrt 6  + 50\,000 = 114\,000\) lít.

d) Đúng. Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ \(500\) lít/giờ, thì tại thời điểm \(t\) bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là

\(V\left( 9 \right) = 1\,000.9\sqrt 9  + 50\,000 - 500.9 = 72\,500\) lít.