Câu hỏi:

03/10/2025 8

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật và EFP là tam giác cân tại $P$. Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6$m;$AE = 5$m; $AD = 8$m; $QT = 7$m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn \[AD\] sao cho $OA = 2$m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

a) Toạ độ điểm $Q$ là $\left( { - 6;3;5} \right)$.

b) Vectơ $\overrightarrow {OC} $ có toạ độ là $\left( { - 6;6;0} \right)$.

c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$. Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng $5 + 2\sqrt {10} $m.

d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là $130.000$ đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là $3.750.000$ đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật và EFP là tam giác cân tại P (ảnh 2)

a) Sai. Kẻ $TM \bot Oy$, $CN \bot Oy$.

Vì $T$ là hình chiếu của $Q$ lên $\left( {Oxy} \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} = - OD = - \left( {AD - OA} \right) = - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.$.

${z_Q} = QT = 7$

Suy ra $Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)$.

b) Đúng. Vì $C \in \left( {Oxy} \right)$ nên ${z_C} = 0$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - OD = - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.$. Suy ra $C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)$. Vậy $\overrightarrow {OC} = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)$.

c) Đúng Gọi $L$ là trung điểm của $FG$.

Ta có: ${z_K} = OK = AE = 5$.

Suy ra $K\left( {0;\,0;\,5} \right)$.

$ \Rightarrow OK = 5$.

$B$, $C$ lần lượt là hình chiếu của $F$, $G$ lên $\left( {Oxy} \right)$.

Suy ra $F\left( {2;\,6;\,5} \right)$, $G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)$.

Mà $L$ là trung điểm của $FG$ nên $L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)$$ \Rightarrow KL = 2\sqrt {10} $.

Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera là

$OK + KL = 5 + 2\sqrt {10} $ (m)

d) Sai. $FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}} = 8$ (m) .

$GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {13} $ (m).

Suy ra ${S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13} $ $\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích lợp tôn mái nhà là $2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13} $ $\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là

$16\sqrt {13} \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000$ (đồng).

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} $ lên ba chân của giá đỡ. Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} $ có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là $60^\circ .$ Hỏi độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_1}} $ là bao nhiêu Newton (làm tròn đến hàng phần chục)?
$Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2} (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

$Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2} (ảnh 2)$

Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SC} .\]

Vì $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|$ và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng $60^\circ $ nên $S.ABC$ là hình chóp đều.

Gọi $M$ là trung điểm $BC,\,\,G$ là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).$

Ta có $\widehat {SBG} = 60^\circ \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.$

Đặt $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).$

Vì $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.$

Vậy $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right).$

Đáp án: 11,5.

Câu 2

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\;m$. Tìm được tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)$. Khi đó tính $a + c$.
$Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {OA} = 10\vec k \Rightarrow A\left( {0;0;10} \right)$ và $OH = OB.\cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$; $OK = OB.\cos \left( {90^\circ - 30^\circ } \right) = \frac{{15}}{2}$

\[ \Rightarrow {\rm{ }}B\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\]. Vậy $a + c = 2,5$.

Đáp án: 2,5.

Câu 3