Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật ABCD.OMNK có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm. Phần mái nhà dạng hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc a có \(\tan \alpha = \frac{1}{5}\). Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho M thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A thuộc tia Oz (như hình vẽ).

Biết \[S\left( {a;b;c} \right)\] (đơn vị của a, b, c là centimet). Tính giá trị của biểu thức \[P = a + b + c\].

a) Sai. Kẻ \(TM \bot Oy\), \(CN \bot Oy\).

Vì \(T\) là hình chiếu của \(Q\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} =  - OD =  - \left( {AD - OA} \right) =  - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.\).

\({z_Q} = QT = 7\)

Suy ra \(Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)\).

b) Đúng. Vì \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_C} = 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - OD =  - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {OC}  = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)\).

c) Đúng Gọi \(L\) là trung điểm của \(FG\).

Ta có: \({z_K} = OK = AE = 5\).

Suy ra \(K\left( {0;\,0;\,5} \right)\).

\( \Rightarrow OK = 5\).

\(B\), \(C\) lần lượt là hình chiếu của \(F\), \(G\) lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(F\left( {2;\,6;\,5} \right)\), \(G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)\).

Mà \(L\) là trung điểm của \(FG\) nên \(L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)\)\( \Rightarrow KL = 2\sqrt {10} \).

Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera là

\(OK + KL = 5 + 2\sqrt {10} \) (m)

d) Sai. \(FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}}  = 8\) (m) .

\(GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) (m).

Suy ra \({S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích lợp tôn mái nhà là \(2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là

\(16\sqrt {13}  \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000\) (đồng).

Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SC} .\]

Vì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng \(60^\circ \) nên \(S.ABC\) là hình chóp đều.

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,\,\,G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Ta có \(\widehat {SBG} = 60^\circ  \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ  = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.\)

Đặt \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).\)

Vì \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 3\overrightarrow {SG}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right).\)

Đáp án: 11,5.