Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là \(30{\rm{N}}\) và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lên ba chân của giá đỡ. Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là \(60^\circ .\) Hỏi độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) là bao nhiêu Newton (làm tròn đến hàng phần chục)?

a) Sai. Kẻ \(TM \bot Oy\), \(CN \bot Oy\).

Vì \(T\) là hình chiếu của \(Q\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} =  - OD =  - \left( {AD - OA} \right) =  - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.\).

\({z_Q} = QT = 7\)

Suy ra \(Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)\).

b) Đúng. Vì \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_C} = 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - OD =  - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {OC}  = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)\).

c) Đúng Gọi \(L\) là trung điểm của \(FG\).

Ta có: \({z_K} = OK = AE = 5\).

Suy ra \(K\left( {0;\,0;\,5} \right)\).

\( \Rightarrow OK = 5\).

\(B\), \(C\) lần lượt là hình chiếu của \(F\), \(G\) lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(F\left( {2;\,6;\,5} \right)\), \(G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)\).

Mà \(L\) là trung điểm của \(FG\) nên \(L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)\)\( \Rightarrow KL = 2\sqrt {10} \).

Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera là

\(OK + KL = 5 + 2\sqrt {10} \) (m)

d) Sai. \(FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}}  = 8\) (m) .

\(GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) (m).

Suy ra \({S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích lợp tôn mái nhà là \(2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là

\(16\sqrt {13}  \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000\) (đồng).

\(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 16; - 10;10} \right) \Rightarrow OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2\sqrt {114}  \approx 21,35\,\,{\rm{(km)}}.\)

Khinh khí cầu bay theo hướng của vectơ \(\overrightarrow v \left( {4;3; - 1} \right)\), do đó vị trí của máy bay ở vị trí \(M\) thì \(\overrightarrow {OM}  = t\overrightarrow v ,(0 \le t \le 10)\). Suy ra \(M\left( {4t - 16;3t - 10; - t + 10} \right),(0 \le t \le 10),\) \(t\;\)(giờ).

Theo bài ra, ta có:

\(OM \le 12 \Leftrightarrow {\left( {4t - 16} \right)^2} + {\left( {3t - 10} \right)^2} + {\left( { - t + 10} \right)^2} \le 144 \Leftrightarrow 26{t^2} - 208t + 312 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le t \le 6.\)

Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là 4 (giờ) = 240 (phút).

Đáp án: 240.