Tìm nghiệm phương trình lượng giác: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có: \(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\).

Vậy nghiệm \(x\) thoả mãn đề bài là: \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\).

Phương trình tương đương với: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - \pi }}{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7\pi }}{{12}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{2}{3}\)

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{ - 1;0\} \).

Với \(k = - 1\) thì \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\), với \(k = 0\) thì \(x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\) và \(x = \frac{\pi }{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.