Câu hỏi:

04/10/2025 58 Lưu

Với mỗi số nguyên dương \(n\), lấy \(n + 6\) điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi \({u_n}\) là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Với mỗi số nguyên dương \(n\), lấy \(n + 6\) điểm cách đều nhau trên đường tròn. (ảnh 1)

Tìm công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta thấy đường tròn được chia thành \(n + 6\) cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng 360n+6°. Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn \(n + 6 - 2.3 = n\) cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là \({u_n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{360}}{{n + 6}} \cdot n = \frac{{180n}}{{n + 6}}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

 

Nhận xét: \({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n }}\)

\( = \frac{{(\sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n )}}{{(\sqrt {n + 1}  - \sqrt n )(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n )(\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} )}} = \frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}{\rm{. }}\)

Vì \(0 < \sqrt {n + 1}  + \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} \) nên \(\frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < 1\)

hay \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

 

a) Ta có: \(2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} \Rightarrow {v_{n + 2}} = {v_{n + 1}}\)

Tương tự, ta chứng minh được \({v_{n + 1}} =  \ldots  = {v_2} = 1\), hay dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy không đổi.

b) Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 1 \Rightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + 1\)

Suy ra \({u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) +  \ldots  + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}\)

\( = 1 + 1 +  \ldots  + 1 + {u_1} = n - 1 + 2023 = n + 2022.{\rm{ }}\)

Khi đó \({u_{2024}} = 4046\)

Câu 4

A. \(51,2\).                 
B. \(51,3\).               
C. \(51,1\).                      
D. \(102,3\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số giảm và bị chặn.\(\).              
B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số tăng và bị chặn trên.              
C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số giảm và không bị chặn dưới.              
D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số tăng và không bị chặn trên.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP