Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + m{\rm{ n\~O u }}x < 0,}\\{{x^2} - 1{\rm{ n\~O u }}x \ge 0}\end{array}} \right.\] với \(m\) là tham số.

Biết hàm số \(f(x)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to 0\). Tìm \(m\).

Chọn B

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^3}{{\left( {2x + 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {3 + 2x} \right)}^7}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{{\left( {4 + \frac{1}{x}} \right)}^3}{{\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}^4}}}{{{{\left( {\frac{3}{x} + 2} \right)}^7}}} = {2^3} = 8\).

a) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \sqrt 5 \]

b) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < 2\) và \({x_n} \to 2\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 - x_n^2\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = 1 - {2^2} = - 3\).

c) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} > 2\) và \({x_n} \to 2\), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{x_n} + 2} \).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {2 + 2} = 2\).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne 2\)) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\).