Trong không gian hệ toạ độ \[Oxyz\], cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3\,;4\,;2} \right)\);\(\overrightarrow b = \left( { - 5\,;0\,;3} \right)\);\(\overrightarrow c = \left( {1\,;\,2\,; - 4} \right)\). Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c \).

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian, cho tứ diện \[ABCD\] có trọng tâm \[G\].

(a) \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].

(b) \[\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\].

(c) \[\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \].

(d) \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc \(100^\circ \) và có độ lớn lần lượt là \(25\;\)N và \(12\;\)N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn \(4\;\)N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị Newton).

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng \(ABFPE.DCGQH\) với \[ABFE\] là hình chữ nhật và \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là \(AB = 6\)m;\(AE = 5\)m; \(AD = 8\)m; \(QT = 7\)m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \[AD\] sao cho \(OA = 2\)m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

(a) Toạ độ điểm \(Q\) là \(\left( { - 6;3;5} \right)\).

(b) Vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có toạ độ là \(\left( { - 6;6;0} \right)\).

(c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí \(O\). Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng \(5 + 2\sqrt {10} \)m.

(d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là \(130.000\) đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là \(3.750.000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm \(t = 0\), flycam ở vị trí \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và sau 10 phút nó ở vị trí \(B\left( {21;\,32;\,33} \right)\).

(a)Flycam không bay qua vị trí \[D\left( {5;\,8;\,9} \right)\].

(b)Vectơ vận tốc của flycam có tọa độ là \(\overrightarrow v = \left( {20;\,30;\,30} \right)\).

(c)Độ lớn của vận tốc flycam là \(\sqrt {22} \) (m/phút).

(d)Sau 15 phút vị trí flycam là \(C\left( {31;\,47;\,48} \right)\).

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {800;500;7} \right)\) đến điểm \(B\left( {940;550;8} \right)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo \(D\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó \(x + y + z = ?\)

B. Tự luận

Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(5\).

(a) Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD'} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

(b) Tính các tích vô hướng:\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {BD} \).

(c) Chứng minh \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.\) Độ dài vectơ \(3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b \) là