Trong không gian, xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia \(Ox\) hướng về phía nam, tia \(Oy\) hướng về phía đông và tia \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian \(Oxyz\) lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí \(A\) ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách \(O\;25\;{\rm{km}}\) về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí \(B\left( { - 20;15;0} \right)\).

(a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.

(b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí \(A\).

(c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí \(B\).

(d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí cách \(O\)\(\;15\;{\rm{km}}\) về phía nam.

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách \(O\) tối đa \(15\sqrt 3 \;{\rm{km}}\).

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm \(t = 0\), flycam ở vị trí \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và sau 10 phút nó ở vị trí \(B\left( {21;\,32;\,33} \right)\).

(a)Flycam không bay qua vị trí \[D\left( {5;\,8;\,9} \right)\].

(b)Vectơ vận tốc của flycam có tọa độ là \(\overrightarrow v = \left( {20;\,30;\,30} \right)\).

(c)Độ lớn của vận tốc flycam là \(\sqrt {22} \) (m/phút).

(d)Sau 15 phút vị trí flycam là \(C\left( {31;\,47;\,48} \right)\).

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng \(ABFPE.DCGQH\) với \[ABFE\] là hình chữ nhật và \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là \(AB = 6\)m;\(AE = 5\)m; \(AD = 8\)m; \(QT = 7\)m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \[AD\] sao cho \(OA = 2\)m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

(a) Toạ độ điểm \(Q\) là \(\left( { - 6;3;5} \right)\).

(b) Vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có toạ độ là \(\left( { - 6;6;0} \right)\).

(c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí \(O\). Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng \(5 + 2\sqrt {10} \)m.

(d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là \(130.000\) đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là \(3.750.000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9h30'. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

(a) Máy bay đang ở độ cao 9 km.

(b) Tọa độ của máy bay lúc 9h30' là \(\left( {150;300;9} \right)\).

(c) Phi công để máy bay ở chế độ tự động và bay theo hướng đông, độ cao không đổi lúc 10h30' máy bay ở tọa độ \(\left( {150;1086;9} \right)\). Khi đó vận tốc của máy bay là \(776{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\), biết vận tốc gió theo hướng đông là \(10{\rm{\;m/s}}\).

(d) Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì sau khi bay đến vị trí lúc 10h30' thì máy bay bay ngược lại (hướng Tây) với vận tốc \(800{\rm{\;km/h}}\) với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11h máy bay cách gốc tọa độ một khoảng 723 km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

(a) Tọa độ của các điểm \(A\left( {5;0;0} \right)\).

(b) Tọa độ của các điểm \(H\left( {0;5;3} \right)\).

(c) Góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\) gọi là góc dốc của mái nhà. Số đo của góc dốc của mái nhà bằng \(26,6^\circ \) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ).

(d) Chiều cao của ngôi nhà là 4.

Trong không gian \[Oxyz\], một khinh khí cầu ở toạ độ \(A\left( { - 16; - 10;10} \right)\) bắt đầu bay với véc tơ vận tốc không đổi \(\overrightarrow v \left( {4;3; - 1} \right)\) (đơn vị vận tốc là km/h) và dự kiến bay trong thời gian 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu đặt ở vị trí gốc toạ độ \(O\) kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng \(12\)km. Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là bao nhiêu phút?

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật \[ABCD.OMNK\] có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm. Phần mái nhà dạng hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc có \(\tan \alpha = \frac{1}{5}\). Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho M thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A thuộc tia Oz (như hình vẽ).

Biết \[S\left( {a;b;c} \right)\] (đơn vị của a, b, c là centimet). Tính giá trị của biểu thức \[P = a + b + c\].

Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và hai vectơ \(\vec u = \frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) và \(\vec v = \overrightarrow a + \overrightarrow b \) vuông góc với nhau. Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b .\)