Cho bất phương trình \(\frac{{x + 4}}{5} < \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2}\).

a) Bất phương trình trên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

b) Có thể biến đổi bất phương trình trên về dạng \(\frac{{x + 4}}{5} - \frac{{x + 3}}{3} + \frac{{x - 2}}{2} < 0\).

c) Có thể biến đổi bất phương trình trên về dạng \(\frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{5} < \frac{{10\left( {x + 3} \right)}}{3} - \frac{{15\left( {x - 2} \right)}}{2}\).

d) Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \(4.\)

a) Sai. Ta có: \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\) nên \(2mx + m - 8 < 0\).

Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi \(2m \ne 0\) hay \(m \ne 0\).

b) Đúng. Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \(2x - 7 < 0\) hay \(2x < 7\) nên \(x < \frac{7}{2}.\)

Như vậy, khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{7}{2}.\)

c) Sai. Khi \(m =  - 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 2x - 9 < 0\) hay \( - 2x < 9\) nên \(x >  - \frac{9}{2}.\)

Như vậy, khi \(m =  - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x >  - \frac{9}{2}.\)

d) Sai. Khi \(m =  - 2,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 4x - 10 < 0\) hay \( - 4x < 10\) nên \(x >  - \frac{5}{2}.\)

Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là \( - 2\).

Gọi số chai nhiều nhất bác An mua được là \(x\) (chai) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Theo bài ra ta có: \(45\,\,000x + 190\,\,000 + 110\,\,000 \le 500\,\,000\)

\(45\,\,000x + 300\,\,000 \le 500\,\,000\)

\(45\,\,000x \le 200\,\,000\)

\(x \le \frac{{40}}{9} = 4,44....\).

Mà \(x\) lớn nhất, \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x = 4\).

Vậy bác An mua được nhiều nhất \(4\) chai.

Đáp án: 4.