Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,4\,;\, - 1} \right)\) là

Phương trình tham số của đường cáp là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {k \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}\]

Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4\,{\rm{m/s}}\) nên độ dài \(AM = 4t\) \(\left( m \right)\).

Vì vậy sau \[5\] (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \[M\] thì \(AM = 4.5 = 20\) \(\left( m \right)\).

Vì \[M \in d \Rightarrow M\left( { - 2;1 - 2k;5 + 6k} \right)\].

\[\overrightarrow {AM}  = \left( {0; - 2k;6k} \right)\]. Do 2 vec tơ \[\overrightarrow {AM} ;\vec u\] cùng hướng \(k > 0\).

\(AM = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}}  = 20 \Leftrightarrow 40{k^2} = 400 \Leftrightarrow k =  \pm \sqrt {10} \).

Vì \(k > 0 \Rightarrow k = \sqrt {10} \).

Vậy tọa độ \[M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\]. Khi đó \[a + 3b + c =  - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10}  = 6\].

Đáp án: 6.

\(d\left( {A,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 5 - 2.\left( { - 2} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 8\) và \(d\left( {B,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 2.2 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\).

\(AB \cap \left( P \right) = M \Rightarrow M\) cố định.

Do \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(C\) nên \(MC \bot IC\) tại \(C\).

\( \Rightarrow MA.MB = M{C^2}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = d\left( {A;\;\left( P \right)} \right) = 8\\MB = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow M{C^2} = 16 \Leftrightarrow MC = 4\).

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\).

Ta có: \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 + t\\z =  - 2 - 2t\end{array} \right.\), \(M = AB \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O\left( P \right)} \right) = 3\), \(OH:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z =  - 2t\end{array} \right.\).

\(H = OH \cap \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow H\left( { - 2;\; - 1;\;2} \right)\), \(HM = \sqrt {13}  < 4\) nên \(H\) nằm trong đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\). Suy ra \(OC = \sqrt {O{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {9 + H{C^2}} \).

\( \Rightarrow OC\) đạt min hoặc max \( \Leftrightarrow HC\) đạt min hoặc max

\(\left\{ \begin{array}{l}H{C_{\min }} = \left| {HM - r} \right| = 4 - \sqrt {13} \\H{C_{\max }} = HM + r = 4 + \sqrt {13} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O{C_{\min }} = \sqrt {9 + \left( {4 - {{\sqrt {13} }^2}} \right)}  = {m_2}\\O{C_{\max }} = \sqrt {9 + {{\left( {4 + \sqrt {13} } \right)}^2}}  = {m_1}\end{array} \right.\).

Vậy \({m_1}^2 + {m_2}^2 = 76\).

Đáp án: 76.