Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ne 1\).

a) \(f\left( x \right) = 2 + \frac{3}{{x - 1}}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx}  = 2x + 2\ln \left( {x - 1} \right) + C\).

c) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).

d) Phương trình \(F\left( x \right) = 2x + 2\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Khi đó \(T = {x_1} + {x_2} = 2\).

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx = 2x + 2\ln \left| x \right| + C} \).

b) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx} = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Suy ra \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Mà \(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| - 2\).

Vậy \(F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2\).

c) Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}\).

\(\int {f\left( {2x} \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C} \).

Mà \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C\).

Vậy \(F\left( {2x} \right)\) không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).

d) Hàm số \(f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}\) \( \Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)} dx = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx} = 2x - {e^{ - x}} + C\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.

Ta có \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 1;g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{x}{2}\).

Ta có \(H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{2}dx} = \frac{{{x^2}}}{4} + C\).

Vì \(H\left( 4 \right) = 4\) nên \(C = 0\). Do đó \(H\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}\).

Suy ra \(H\left( 1 \right) = \frac{1}{4} = 0,25\).

Trả lời: 0,25.