Biết rằng hàm số \(F\left( x \right) = x + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\); hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4} + 2025\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\). Gọi \(H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} \), biết \(H\left( 4 \right) = 4\). Tính \(H\left( 1 \right)\).

a) Ta có \({\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 4\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = - 2\sin x\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho.

b) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {4.\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = 2\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 4\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Rightarrow C = - \pi - 2\).

Vậy ta có \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin } \right) - \pi - 2\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Sai.

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx = 2x + 2\ln \left| x \right| + C} \).

b) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx} = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Suy ra \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Mà \(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| - 2\).

Vậy \(F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2\).

c) Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}\).

\(\int {f\left( {2x} \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C} \).

Mà \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C\).

Vậy \(F\left( {2x} \right)\) không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).

d) Hàm số \(f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}\) \( \Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)} dx = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx} = 2x - {e^{ - x}} + C\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.