Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left[ {a;b} \right]\), biết \(F\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 1\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4x\). Với \(a,b,C\) là các hằng số.

a) \(f'\left( x \right) = 4{x^3}\).

b) \(\int {g\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).

c) \(\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = F\left( a \right) - F\left( b \right)\).

d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị.

Một mảnh đất có hình dạng là hình thang cong có các thông số như hình vẽ, biết phần đường cong là phần đồ thị của hàm số \(y = a\sqrt x \). Diện tích của mảnh đất đó là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và \(f'\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) có bảng biến thiên như sau:

a) \(\int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} = f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)\).

b) \(\int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} = 1\).

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right):y = f'\left( x \right),y = 0,x = 2,x = 3\) bằng \(\frac{1}{2}\).

d) Biết rằng \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5\), suy ra \(f\left( 5 \right) = 5\).

Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB = 4m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC = 4m, CE = 3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì đường cong có độ cao 1m (xem hình). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

Cho \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^x}\). Tính tổng \(S = a + b + c\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2\) với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = 2 - 3\ln 2\). Tính \(T = a + b\).