Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục toạ độ \[Axyz\] như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng \[AA',\,BB',\,CC'\] và \[DD'\]. Phần mái là tứ giác \(A'B'C'D'\) và hình vuông \(ABCD\) nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng \(AB = 25\,{\rm{m}},AA' = BB' = 4\,{\rm{m}}\) và \(CC' = DD' = 3\,{\rm{m}}\).

(a) Toạ độ điểm \(A'\left( {0;\,0;\,4} \right)\).

(b) Đường thẳng \(A'D'\) có phương trình tham số là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.\].

(c) Bác An đặt một camera ở vị trí \(E\) trên cột \(AA'\) và cách mặt đất \(7\,{\rm{m}}\). Một vật ở vị trí \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\) thoả mãn \(MA = MB = MC = MD = \sqrt {\frac{{697}}{2}} \) thì cách camera \(\frac{{\sqrt {1266} }}{2}{\rm{m}}\).

(d) Gọi \(\alpha \) là góc hợp bởi đường thẳng \(A'D'\) và mặt đất. Khi đó \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {626} }}\,\).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật trong không gian. Cách thức hoạt động của GPS như sau: Trong cùng một thời điểm, vị trí \(M\) của một vật sẽ được xác định bằng 4 vệ tinh cho trước, các vệ tinh này có gắn máy thu tín hiệu, bằng cách so sánh thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận tín hiệu phản hồi thì sẽ xác định được khoảng cách từ các vệ tinh đến vị trí \(M\). Như vậy, vị trí \(M\) là giao điểm của 4 mặt cầu có tâm là 4 vệ tinh đã cho. Giả sử trong không gian \(Oxyz\), 4 vệ tinh có tọa độ là \(A\left( { - 1;6;3} \right)\), \(B\left( {4;8;1} \right)\), \(C\left( {9;6;7} \right)\), \(D\left( { - 15;18;7} \right)\). Biết khoảng cách từ \(M\) đến các vệ tinh lần lượt là \(MA = 6\), \(MB = 7\), \(MC = 12\), \(MD = 24\). Khi đó tọa độ điểm \(M\left( {{x_M};\,{y_M};\,{z_M}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {x_M} + {y_M} + {z_M}\).

Hai chiếc flycam bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 100 m. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 50 m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc flycamnói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc flycam là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc flycam(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Tại một nút giao thông có \[2\] con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz hai con đường đó thuộc hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\); \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\).

Người ta muốn tạo một con đường \(\Delta \) cắt \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(AB\) nhỏ nhất. Tính độ dài \(AB\), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.

Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ \(\left( {200;70;118} \right)\). Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu kilomet, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ \(\left( {80;105;113} \right)\)?

Hệ thống định vị toàn cầu GPS hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách trái đất 20000 km, ta coi Trái đất là một khối cầu có bán kính \(R = 6\)(nghìn km). Với hệ tọa độ \(Oxyz\) đã chọn, \(O\) là tâm trái đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ \(A\left( {26;0;0} \right)\), \(B\left( {0;26;0} \right)\). Xét điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc bề mặt Trái Đất. Tính giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Biết góc quan sát ngang của một camera là \(116^\circ \). Trong không gian \(Oxyz\), camera được đặt tại điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 13 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục).

B. Tự luận

Trong không gian \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,x - 2y - 3{\rm{z}} + 20 = 0\). Hỏi là chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu?