Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - \sin 2x\).

a) Hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos 2x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

b) Biết hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\), khi đó phương trình \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\) có đúng một nghiệm.

c) Họ nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

d) Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(G\left( \pi \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}\). Khi đó \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{16}} - \frac{1}{2}\).

Nhằm tri ân người dân địa phương đã luôn tin tưởng, đồng hành với doanh nghiệp. Tập đoàn NXS đã tổ chức ngày hội cảm ơn vào ngày 10/07/2024. Trong chuỗi sự kiện đặc biệt này, tất cả người dân địa phương đều được miễn phí vé vào cổng, thỏa thích tận hưởng các trò chơi, tham quan các công trình kỳ thú, ấn tượng tại 5 công viên chủ đề được đầu tư, xây dựng hoành tráng với hàng trăm tiện ích. Gọi B(t) là hàm số biểu thị số lượng khách tham quan sau t giờ mở cửa. Khi tốc độ thay đổi lượng khách tham quan trong ngày được biểu diễn bằng hàm số \(B'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} + 200\), trong đó t tính bằng giờ (\(0 \le t \le 8\)), \(B'\left( t \right)\) tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 1200 người có mặt. Hỏi sau 6 giờ lượng khách tham quan là bao nhiêu người?

Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s²). Tại thời điểm bắt đầu chuyển động vật có vận tốc bằng 0.

a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số \(v\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s).

b) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{6}\) là 2 m/s.

c) Tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vật là \(\sqrt 2 \) m/s.

d) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) là \(2\sqrt 2 \) (m/s²).

Nguyên hàm \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = ax + b{\cot ^c}x + C\) (với a, b, c là các số nguyên dương).

Tính \(a + 4b + c\).

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Biết \(F\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - \ln x + C,x \in \left( {0; + \infty } \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

a) \(f\left( x \right) = 6x + 2 - \frac{1}{x},x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(F\left( 1 \right) = 3\). Khi đó \(F\left( 2 \right) = 14 - \ln 2\).

c) \(f\left( 1 \right) = 1\).

d) Bất phương trình \(f\left( x \right) + \frac{1}{x} - 8 < 0\) có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Biết \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(P = abc\).