Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - \sin 2x\).

a) Hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos 2x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

b) Biết hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\), khi đó phương trình \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\) có đúng một nghiệm.

c) Họ nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

d) Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(G\left( \pi \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}\). Khi đó \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{16}} - \frac{1}{2}\).

Nhằm tri ân người dân địa phương đã luôn tin tưởng, đồng hành với doanh nghiệp. Tập đoàn NXS đã tổ chức ngày hội cảm ơn vào ngày 10/07/2024. Trong chuỗi sự kiện đặc biệt này, tất cả người dân địa phương đều được miễn phí vé vào cổng, thỏa thích tận hưởng các trò chơi, tham quan các công trình kỳ thú, ấn tượng tại 5 công viên chủ đề được đầu tư, xây dựng hoành tráng với hàng trăm tiện ích. Gọi B(t) là hàm số biểu thị số lượng khách tham quan sau t giờ mở cửa. Khi tốc độ thay đổi lượng khách tham quan trong ngày được biểu diễn bằng hàm số \(B'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} + 200\), trong đó t tính bằng giờ (\(0 \le t \le 8\)), \(B'\left( t \right)\) tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 1200 người có mặt. Hỏi sau 6 giờ lượng khách tham quan là bao nhiêu người?

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) thỏa mãn \(F\left( { - 2} \right) = 0\) (với C là một số thực bất kì).

a) \(F\left( { - 2e} \right) = 1\).

b) \(F\left( { - 3} \right) = \ln \frac{3}{2}\).

c) \(f\left( { - 4} \right) = \ln 2\).

d) \(F'\left( { - 1} \right) = - 1\).

Nguyên hàm \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = ax + b{\cot ^c}x + C\) (với a, b, c là các số nguyên dương).

Tính \(a + 4b + c\).

Cho \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Tính \(f\left( 1 \right)\)(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).