Cho \(({H_1})\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^2}\), trục \(Ox\)và đường thẳng \(x = - 1\); \(({H_2})\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f(x) = {x^2}\) và \(g(x) = - x\).

a) Đồ thị của hai hàm số \(f(x)\)và \(g(x)\)cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \(0\)và \( - 1\).  

b) Diện tích hình phẳng \(({H_1})\) bằng \(\frac{\pi }{3}.\)

c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình \(({H_1})\) quanh trục \(Ox\) bằng \(\frac{\pi }{5}.\)

d) Diện tích của \(({H_1})\) gấp đôi diện tích của \(({H_2})\).

a) Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} =  - x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.\).

Vậy đồ thị của hai hàm số \(f(x)\)và \(g(x)\)cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \(0\)và \( - 1\).

b) Diện tích hình phẳng (H1) là \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{3}\).

c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H1) quanh trục Ox bằng

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{x^4}dx}  = \left. {\pi \frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{5}\).

d) Diện tích hình phẳng (H2) là \({S_2} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + x} \right|dx}  =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} + x} \right)dx}  = \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{6}\).

Có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.