Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A dự kiến dựng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right)\).

a) \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\].

b) Nếu \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 2 \right) = \frac{{25}}{3}\).

c) Nếu \[\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx} = 2\] thì \(k = \frac{3}{{10}}\).

d) Biết \[\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = a + a\ln b\], \(a,b \in \mathbb{Z}\). Khi đó: \(3a - 5b = - 8\).

Một học sinh đang điều khiển xe đạp điện chuyển động thẳng đều với vận tốc \(a\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Khi phát hiện có chướng ngại vật phía trước học sinh đó thực hiện phanh xe. Sau khi phanh, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) = a - 2t\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), thời gian tính bằng giây. Tìm giá trị lớn nhất của \(a\)để quãng đường xe đạp điện đi được sau khi phanh không vượt quá \(9\;m\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2\) với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = 2 - 3\ln 2\). Tính \(T = a + b\).