Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right): - x + 2y + 2z + 5 = 0\). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0; −1) cắt đường thẳng D₁ và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Tính tổng \(a + 2b - 3c\).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{2}\); \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + t\\z = 2 - mt\end{array} \right.\).

a) Khi m = 0, số đo góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 135°.

b) \(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = - \frac{1}{3}\).

c) Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P): 2x + 2y + z – 4 = 0 tạo với đường thẳng d₁ một góc α có \(\cos \alpha = \frac{4}{9}\).

d) Khi \(m = \frac{a}{b},a,b \in \mathbb{Z},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 90°. Giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} = 13\).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{2}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1\\z = 1 - t\end{array} \right.\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂. Giá trị \(\cos \varphi \) có dạng \(\frac{{a\sqrt c }}{b}\). Tính giá trị biểu thức \(P = b - 3a + c\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\). Xét các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow n = \left( {2;2;; - 1} \right)\).

a) \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D.

b) \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

c) \(\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9}\).

d) Góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng khoảng 63° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 1 = 0\) với c < 0 đi qua 2 điểm A(0; 1; 0); B(1; 0; 0) và tạo với (Oyz) một góc 60°. Tính tổng a + b + c (làm tròn đến hàng phần trăm).