Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ : x = 1 − t; y = 3 + t ; z = 4 và mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 2z − 3 = 0 .

a) \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng D thỏa mãn. Do đó M Î D.

c) Đường thẳng D có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;1;0} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 2} \right) + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra (D, (P)) = 45°.

d) Gọi \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {a;b;c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của d.

Do d // (P) nên \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0\) (1).

Vì \(\cos \left( {d,\Delta } \right) = \cos 45^\circ \) nên \(\frac{{\left| { - a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow \left| { - a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

\( \Leftrightarrow {c^2} =  - 2ab\)(2).

Từ (1) và (2) có \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 2c = 0\\{c^2} + 2ab = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\{c^2} + 2\left( {2b - 2c} \right)b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\{\left( {c - 2b} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\c = 2b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - c\\c = 2b\end{array} \right.\).

Chọn b = 1 \( \Rightarrow a =  - 2;c = 2\).

Suy ra đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\) hay \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.