Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; −1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng D1 tại B, ta có \(B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in {\Delta _1}\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)\) mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;2;2} \right)\).

Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có \(\sin \varphi  = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0\).

Suy ra d tạo với mặt phẳng (P) một góc φ nhỏ nhất khi φ = 0° hay sinφ = 0 Þ t = 0.

Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Vậy \(a = 2;b = 2;c =  - 1 \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.\left( { - 1} \right) = 9\).

Trả lời: 9.

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)

a) Khi m = 0, đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;0} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra (d1, d2) = 45°.

b) Trục Ox có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

\(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}\).

c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\),

Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

d) Số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc.

Khi đó \(\overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow  - 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}\).

Suy ra \(a =  - 3;b = 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 13\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.