Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1; 0; −1), B(−1; 2; 1) và có tâm I thuộc mặt phẳng (P): x + y – z – 1 = 0. Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 0) và bán kính R = 2.

Suy ra đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.

b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {0^2}}  = \sqrt 5  > R\) nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.

c) Mặt phẳng (Oyz) có phương trình \(x = 0\).

Khi đó \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| { - 2} \right| = 2\).

d) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R\)nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;  c) Đúng;   d) Sai.

a) Đường thẳng d đi qua M(4; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

b) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 0), R = 2.

c) d)  Tọa độ giao điểm của d và mặt cầu (S) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\\x = 4 + t\\y =  - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} + {0^2} = 4\\x = 4 + t\\y =  - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{t^2} + 8t + 6 = 0\\x = 4 + t\\y =  - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 3\end{array} \right.\\x = 4 + t\\y =  - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).

Với t = −1 thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {3;0;0} \right)\).

Với t = −3 thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;2;0} \right)\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;  c) Đúng;   d) Đúng.