Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\).

a) Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và R = 3.

b) Mặt cầu (S) đi qua điểm A(1; 3; −1).

c) Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q): x – 2y + 2z – 6 = 0.

d) Giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x + 2y + z − 5 = 0 và mặt cầu (S) là một đường tròn có bán kính \(\frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

a) Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 0) và bán kính R = 2.

Suy ra đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.

b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {0^2}}  = \sqrt 5  > R\) nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.

c) Mặt phẳng (Oyz) có phương trình \(x = 0\).

Khi đó \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| { - 2} \right| = 2\).

d) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R\)nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;  c) Đúng;   d) Sai.

Vì I Î D nên \(I\left( {2 - 3t;1 + 2t;1 + 2t} \right)\).

Vì \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| { - 3t} \right| = \left| {6 - 3t} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3t = 6 - 3t\\ - 3t = 3t - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = 1\).

Với \(t = 1\) thì \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{3} = 1\).

Đường kính của mặt cầu là 2.

Trả lời: 2.