Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 1 = 0.\) Xét các vectơ \(\vec u = (2;\;1;\; - 2),\;\;\vec n = (2;\;2;\; - 1).\)

a) \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\)

b) \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

c) Giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng\((P)\) là \(M(2024;2025;1)\)

d) Mặt phẳng \((P): - 4x - 2y + 2z + 1 = 0\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

M chính là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5;10; - 2} \right)\).

Đường thẳng AB đi qua điểm A(5; 0; 5) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5;10; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5t\\y = 10t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\).

Vì M Î (Oxy) Þ z = 0 Þ 5 – 2t = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).

Với \(t = \frac{5}{2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{35}}{2}\\y = 25\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{{35}}{2};25;0} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{{35}}{2};b = 25\). Do đó \(a + b = \frac{{35}}{2} + 25 = 42,5\).

Trả lời: 42,5.

Vùng phủ sáng chính là hình cầu tâm I bán kính R = 4000.

Khi đó tọa độ điểm H chính là giao điểm của đường thẳng ID và mặt cầu tâm I, bán kính R.

Ta có phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}\).

Đường thẳng ID đi qua điểm I(21; 35; 50) và nhận \(\overrightarrow {ID}  = \left( {5100;623; - 50} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\).

Vì H Î ID \( \Rightarrow H\left( {21 + 5100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\).

Mà H Î (S) nên \({\left( {5100t} \right)^2} + {\left( {623t} \right)^2} + {\left( { - 50t} \right)^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow 26400629{t^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx  \pm 0,78\).

Với \(t \approx  - 0,78\)\( \Rightarrow H\left( { - 3957; - 450,94;89} \right)\) và \(\overrightarrow {IH}  = \left( { - 3978; - 485,94;39} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ID}  =  - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) ngược hướng.

Vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Với \(t \approx 0,78\)\( \Rightarrow H\left( {3900;520,94;11} \right)\) và \(\overrightarrow {IH}  = \left( {3978;485,94; - 39} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ID}  = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) cùng hướng.

Vậy H  thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy ví trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm \(H\left( {3900;520,94;11} \right)\) có cao độ là 11.

Trả lời: 11.