Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ \(\overrightarrow {B'D'} \) là vectơ nào sau đây.

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ

(a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

(b) Giá trị cực đại của hàm số là 2.

(c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) là \( - 1\).

(d) Giá trị của hàm số tại \(x = 5\) là \(f\left( 5 \right) = 100\).

Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 3}}\) có đường tiệm cận xiên \(y = g\left( x \right) = ax + b\). Tính \(g\left( 2 \right)\).

Để thiết kế một bể cá hình hộp chữ nhật, không có nắp, có độ dài một cạnh ở đáy bằng 80 cm, thể tích 16000 cm³, người thợ dùng loại kính để sử dụng mặt bên có giá thành 80000 đồng/m² và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 đồng/m². Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là bao nhiêu nghìn đồng?

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp \(AB\) trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ \(Oxyz\) như hình với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3; - 2;1} \right),\overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow c = \left( {12;m;n} \right)\)là vectơ vuông góc đồng thời với hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Tính giá trị \(4n - 5m\).

Một em nhỏ cân nặng \(m = 25\) kg trượt trên cầu trượt dài 4 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30°.

Công \(A\) (N) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn là \(g = 9,8\) m/s².

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right),C\left( {2;1;1} \right)\).

(a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)\).

(b) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương.

( c) \(AB \bot AC\).

(d) Diện tích tam giác \(ABC\) là \(\sqrt 6 \).