Cho \(\tan x = \frac{1}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = 25\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\).

Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE} \).

Vẽ hình chữ nhật ABCD.

Vì vật ở trạng thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AE} \).

Ta có \(AB = 12,\widehat {CAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 30^\circ \).

Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = AB\tan 30^\circ = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 = AD\).

Độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(4\sqrt 3 \) N.

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\sqrt 3 \).

Do vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AC = 8\sqrt 3 \).

a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow  - \overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  =  - 2\overrightarrow {DM} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BD}  =  - 2\overrightarrow {DM} \).

b) Vẽ \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BE} \).

Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {DBE} = 135^\circ \).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \).

d) Ta có \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = {\overrightarrow {AD} ^2} = 4\).

Ta có \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} \)\( =  - \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {AC} \)\( =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} \)\( =  - \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( =  - \frac{1}{2}2.2\sqrt 2 .\cos 45^\circ  =  - 2\).

Do đó \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = 2\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.