Bạn Minh làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất Minh làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu Minh làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8 nhưng nếu Minh làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,2. Xác suất để Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh làm đúng bài thứ hai là \(\frac{a}{b},(a,b \in {\mathbb{N}^*})\). Biết \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, tính \(T\, = 2a\, + b\).

Gọi \(A\): “Bạn được chọn là nam” và \(B\): “Bạn được chọn tham gia biểu diễn văn nghệ”.

Khi đó, \(\overline A \): “Bạn được chọn là nữ” và \(\overline B \): “Bạn được chọn tham gia thi đấu thể thao”.

Lớp \[12A\] có \[60\% \] số học sinh tham gia thi đấu thể thao và còn lại \[40\% \] nên \(P\left( B \right) = 0,4\) và \(P\left( {\overline B } \right) = 0,4\).

Các bạn nữ đều tham gia biểu diễn văn nghệ nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 1\).

Trong số các bạn nam có \[20\% \] tham gia văn nghệ và \[80\% \] tham gia thi đấu thể thao nên ta có \(P\left( {B|A} \right) = 0,2\) và \(P\left( {\overline B |A} \right) = 0,8\).

Ta có: \[P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right)P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)\]

\[ \Leftrightarrow 0,4 = 0,2\left( {1 - P\left( {\overline A } \right)} \right) + 1 \cdot P\left( {\overline A } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,25\].

Khi đó, xác suất để chọn ra một học sinh là nữ với điều kiện có tham gia biểu diễn văn nghệ là

\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {B|\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,25}}{{0,4}} = 0,625 = 62,5\% \).

Đáp án: 62,5.

Gọi \(A,B,C\) lần lượt là biến cố thí sinh được chọn lọt vào Vòng sơ khảo, Vòng bán kết và Vòng chung kết.

a) Đúng. Vì có \(50{\rm{\% }}\) thí \({\rm{sinh}}\) lọt vào vòng sơ khảo nên \(P\left( A \right) = 0,5\).

b) Sai. Xác suất để thí sinh lọt vào Vòng bán kết là

\({\rm{\;}}P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( {B\mid A} \right)P\left( A \right) = 0,3 \cdot 0,5 = 0,15\).

c) Đúng. Xác suất để thí sinh lọt vào Vòng chung kết là

\(P\left( C \right) = P\left( {ABC} \right) = P\left( {C\mid AB} \right)P\left( {AB} \right) = 0,2.0,15 = 0,03\).

d) Sai. Ta có \(P\left( {\overline C \mid A} \right) = 1 - P\left( {C\mid A} \right) = 1 - \frac{{P\left( C \right)}}{{P\left( A \right)}} = 0,94\).

\[P\left( {A\mid \overline C } \right) = \frac{{P\left( {\overline C \mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,94.0,5}}{{1 - 0,03}} = \frac{{47}}{{97}} = 0,485 < 0,49\].