(1,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng bằng \(2R\). Từ \(A\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
b) Đường thẳng vuông góc với \(OC\) tại \(O\) cắt \(AB\) tại \(M\). Đường thẳng vuông góc với \(OB\) tại \(O\) cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMON\) là hình thoi.
c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC.\)
(1,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng bằng \(2R\). Từ \(A\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
b) Đường thẳng vuông góc với \(OC\) tại \(O\) cắt \(AB\) tại \(M\). Đường thẳng vuông góc với \(OB\) tại \(O\) cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMON\) là hình thoi.
c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
|
a) Ta có: hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OB = OC = R\) Suy ra \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\). b) Ta có: \(AB \bot OB\) (do \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B)\) và \(ON \bot OB\) Suy ra \(ON\,{\rm{//}}\,AB\) hay \(ON\,{\rm{//}}\,AM\). (1) |
|
Tương tự, ta có: \(OM\,{\rm{//}}\,AC\) hay \(OM\,{\rm{//}}\,AN\). (2)
Xét tứ giác \(AMON\) có \(ON\,{\rm{//}}\,AM\) và \(OM\,{\rm{//}}\,AN\) nên \(AMON\) là hình bình hành.
Ta có: hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), hay \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {MAN}\) (3)
Do đó hình bình hành \(AMON\) là hình thoi.
c) Ta có: \(\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(\widehat {OAC} = 30^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MON} = \widehat {MAN} = 2 \cdot \widehat {OAC} = 60^\circ \).
Ta có \(\widehat {BOM} + \widehat {MON} = \widehat {BON} = 90^\circ \) suy ra \[\widehat {BOM} = 90^\circ - \widehat {MON} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].
Suy ra \(\widehat {BOC} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ .\)
Mà \(\widehat {BOC}\) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(BC\) nên
Do đó số đo cung lớn \(BC\) là:
Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC\) là
\(S = \frac{{240\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}\) (đơn vị diện tích).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\), ta có:
\[A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]\]
\[ = \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}\]
\[ = - 2\sqrt a \].
Vậy \[A = - 2\sqrt a \] với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\).
b) Ta có: \(\left| {a - 1} \right| = 1\) suy ra \(a - 1 = 1\) hoặc \(a - 1 = - 1\).
Suy ra \(a = 2\) (thỏa mãn) hoặc \(a = 0\) (loại).
Thay \(a = 2\) vào \[A = - 2\sqrt a \] được \[A = - 2\sqrt 2 \].
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án: 62,8
Diện tích hình vành khuyên đó là: \(S = \pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \approx 62,8{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập