Cho tam giác \(ABC\) nhọn, hai đường cao \(AD,\,\,BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\).

a) \(BD = AD \cdot \tan B\).

b) \(AD = CD \cdot \tan C\).

c) \(BD \cdot CD = DH \cdot AD\).

d) \(\tan B \cdot \tan C = 3\).

Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là \(150\,\,{\rm{m}}\), góc nâng tại vị trí \[A\] và \[B\] lần lượt là \(41^\circ \) và \(52^\circ \). Tính độ cao máy bay? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) (đơn vị: m).

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 15^\circ \,;\,\,\widehat B = 30^\circ \,;\,\,AB = 15\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\)

a) Tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn.

b) Độ dài \(AH\) là \(7,5\,\,{\rm{cm}}\).

c) Tam giác \(HAC\) là tam giác nhọn.

d) Diện tích tam giác \(ABC\) khoảng \(20\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) (khi làm tròn đến hàng đơn vị).

Một người đang ở vị trí \(B\) cách \(C\) là \[400{\rm{ m,}}\] quan sát hai lần một khinh khí cầu đang bay thẳng lên (như hình vẽ). Lần thứ nhất người đó nhìn thấy khinh khí cầu với góc nâng là \(24^\circ ,\) lần thứ hai người đó nhìn thấy khinh khí cầu với góc nâng là \(50^\circ .\) Hỏi khinh khí cầu đã bay lên bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Từ hai vị trí \[A\] và \[B\] của một tòa nhà, người ta dùng một dụng cụ quan sát đỉnh \[C\] của ngọn núi (như hình vẽ). Biết rằng chiều cao \[AB\] của tòa nhà là \[70\,\,{\rm{m,}}\] phương nhìn \[AC\] tạo với phương ngang góc \[42^\circ ,\] phương nhìn \[BC\] tạo với phương ngang góc \[21^\circ 30'\].

a) \[CH = AH \cdot \tan 42^\circ .\]

b) \[CD = 70 \cdot \tan 42^\circ .\]

c) Ngọn núi có chiều cao so với mặt đất vào khoảng \[115\,\,{\rm{m}}\].

d) Ngọn núi cao hơn tòa nhà là \[54\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]