Cho tam giác $ABC$ nhọn, hai đường cao $AD,\,\,BE$ cắt nhau tại $H$. Biết $HD:HA = 1:2$.

a) $BD = AD \cdot \tan B$.

b) $AD = CD \cdot \tan C$.

c) $BD \cdot CD = DH \cdot AD$.

d) $\tan B \cdot \tan C = 3$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Chương 4 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác $ABC$ nhọn, hai đường (ảnh 1)$

a) Sai. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta ABD$ vuông tại $D,$ ta có $BD = AD \cdot \cot B.$

b) Đúng. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta ACD$ vuông tại $D,$ ta có $AD = CD \cdot \tan C.$

c) Đúng. Xét $\Delta BDH$ và $\Delta ADC$ có: O10-2024-GV154

$\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$);

$\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ $.

Do đó .

Suy ra $\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ nên $BD \cdot CD = DH \cdot AD$.

d) Đúng. Theo giả thiết: $\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}$O10-2024-GV154 hay $\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}$ nên $AD = 3HD.$

Do đó $\tan B \cdot \tan C = \frac{{3HD}}{{DH}} = 3$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là $150\,\,{\rm{m}}$, góc nâng tại vị trí \[A\] và \[B\] lần lượt là $41^\circ $ và $52^\circ $. Tính độ cao máy bay? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) (đơn vị: m).

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $CH = x\,\,(\;{\rm{m}}),\,\,x > 0$.

• Xét $\Delta HBC$ vuông tại \[H,\] ta có:

$\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$ hay $\tan 52^\circ = \frac{x}{{BH}}$ nên $BH = \frac{x}{{\tan 52^\circ }}$.

• Xét $\Delta HAC$ vuông tại \[H,\] ta có:

$\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$ hay $\tan 41^\circ = \frac{x}{{AH}}$ nên $AH = \frac{x}{{\tan 41^\circ }}$.

Ta có: $HB + HA = AB$

$\frac{x}{{\tan 52^\circ }} + \frac{x}{{\tan 41^\circ }} = 150$

$x\left( {\frac{1}{{\tan 52^\circ }} + \frac{1}{{\tan 41^\circ }}} \right) = 150$

\[x = \frac{{150}}{{\frac{1}{{\tan 52^\circ }} + \frac{1}{{\tan 41^\circ }}}} \approx 78\;\,({\rm{m)}}.\]

Vậy độ cao máy bay là \[78{\rm{ m}}.\]

Đáp án: 78.

Câu 2

Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \]. Sau \[6\] phút, người quan sát vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[60^\circ \]. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy không đổi.

Xem đáp án

Lời giải

Do mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = 60^\circ \].

Gọi \[x\] (m/phút) là vận tốc xe máy, điều kiện \[x > 0\].

Vì xe máy đi từ \[C\] đến \[D\] trong \[6\] phút nên \[CD = 6x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]

• Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ = AB \cdot \tan 60^\circ = \sqrt 3 AB\] (do \[\cot 30^\circ = \tan 60^\circ \]) \[\left( 1 \right)\]

• Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AD = AB \cdot \,\cot \widehat {BDA} = AB \cdot \,\cot 60^\circ = AB \cdot \tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}\] (do \[\cot 60^\circ = \tan 30^\circ \]) \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[AC - AD = AB\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\] nên \[CD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB\].

Ta có \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}:\frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[AD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6x = 3x\,\,({\rm{m}}).\]

Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{{3x}}{x} = 3\] (phút).

Đáp án: 3.

Câu 3