Để lắp đường điện cao thế từ vị trí \[A\] đến vị trí \[B\] cách nhau \[2\,\,000{\rm{ m}},\] do phải tránh ngọn núi nên người ta nối đường dây từ vị trí \[A\] đến vị trí \[C,\] rồi nối từ vị trí \[C\] đến vị trí \[B.\] Góc tạo bởi hai đoạn dây \[CA\] và \[CB\] là \(90^\circ \) và góc tạo bởi đoạn dây \[AC\] và đường \[AB\] là \(60^\circ \).

a) Độ dài \[AC\] đường dây điện nối từ \[A\] đến \[C\] là \(1\,\,000\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

b) Độ dài \[AB\] đường dây điện nối từ \[A\] đến \[B\] là \(1\,\,624\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

c) Tổng độ dài đường dây điện nối từ \[A\] đến \[C\] rồi nối tiếp đến \[B\] là \(2\,\,732\,\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

d) Chiều dài tăng thêm của đường dây điện là \(735\;{\rm{m}}\).

Chọn C

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.

Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] lên đoạn \[AH\].

Vì \[MN\] và \[BH\] là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang; \[MB\] và \[NH\] nằm trên phương thẳng đứng nên tứ giác \[MBHN\] là hình chữ nhật.

Suy ra \[NH = MB = 1,55\,\,{\rm{m}}\]; \[MN = BH = 13,65\,\,{\rm{m}}\].

Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = MN \cdot \tan M.\]

Ta có:\[AH = AN + NH\]suy ra \[AH = MN \cdot \tan M + NH\].

Do đó \[AH = 13,65 \cdot \tan 58^\circ  + 1,55 \approx 23,39\,\,({\rm{m}}).\]

Vậy chiều cao của tháp khoảng \[23,39\,\,{\rm{m}}\].

Do mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = 60^\circ \].

Gọi \[x\] (m/phút) là vận tốc xe máy, điều kiện \[x > 0\].

Vì xe máy đi từ \[C\] đến \[D\] trong \[6\] phút nên \[CD = 6x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]

• Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ  = AB \cdot \tan 60^\circ  = \sqrt 3 AB\] (do \[\cot 30^\circ  = \tan 60^\circ \]) \[\left( 1 \right)\]

• Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AD = AB \cdot \,\cot \widehat {BDA} = AB \cdot \,\cot 60^\circ  = AB \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}\] (do \[\cot 60^\circ  = \tan 30^\circ \]) \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[AC - AD = AB\left( {\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\] nên \[CD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB\].

Ta có \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}:\frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[AD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6x = 3x\,\,({\rm{m}}).\]

Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{{3x}}{x} = 3\] (phút).

Đáp án: 3.